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Calculateur de PGCD et PPCM

Trouvez le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple d'une liste de nombres, avec les décompositions en facteurs premiers et la liste complète des diviseurs communs.

Calculateur de PGCD et PPCMEn direct

Nombres entiers séparés par des virgules, des espaces ou des retours à la ligne.

Comment utiliser cette calculatrice

  1. 1Type two or more whole numbers separated by commas, spaces, or new lines.
  2. 2Read the GCF and LCM at the top of the results.
  3. 3Check the prime factorization table to see exactly where each answer comes from.

Comment ça marche

Trouver le PGCD et le PPCM

PGCD : prendre la plus petite puissance de chaque premier présent dans tous les nombres
PPCM : prendre la plus grande puissance de chaque premier présent dans un nombre
Pour deux nombres : PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b
Euclide : PGCD(a, b) = PGCD(b, a mod b), jusqu'à ce que b = 0

Le plus grand commun diviseur (PGCD) est le plus grand nombre qui divise toutes les valeurs, et le plus petit commun multiple (PPCM) est le plus petit que toutes divisent. On les obtient des décompositions en facteurs premiers : le PGCD prend la plus petite puissance de chaque premier commun, et le PPCM la plus grande puissance de chaque premier présent. Pour deux nombres, PGCD × PPCM égale toujours leur produit.

Exemple détaillé

Pour 12 et 18 : 12 = 2²·3 et 18 = 2·3². Le PGCD est 2·3 = 6 et le PPCM est 2²·3² = 36. Et l'on vérifie 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

Calculateur de PGCD et PPCM : le guide complet

When you need the GCF

The greatest common factor is what reduces a fraction to lowest terms: divide the numerator and denominator by their GCF and the fraction is fully simplified in one step. It is also the answer to every "largest equal groups" problem — the biggest identical bundles you can make from 24 pens and 36 pencils is 12 bundles, because 12 is the GCF.

In geometry it gives the largest square tile that fits a rectangle exactly: a 24 × 36 floor is covered perfectly by 12 × 12 tiles with none cut. Any smaller common factor also works, but the GCF is the largest and therefore uses the fewest tiles.

When you need the LCM

The least common multiple is the least common denominator for adding fractions: rewrite each fraction over the LCM of the denominators and the numerators can simply be added. It is also the answer to every "when do these coincide again" problem — two buses leaving every 24 and 36 minutes next depart together after 72 minutes.

The LCM grows quickly with the number of inputs, and it is never smaller than the largest number in the list. The GCF, conversely, is never larger than the smallest number.

The identity that links them

For any two positive integers, GCF × LCM equals the product of the numbers themselves. This gives a fast shortcut: once you have the GCF from the Euclidean algorithm, the LCM is just a ÷ GCF × b — no factorization required.

The identity does not extend to three or more numbers. For 24, 36, and 60 the GCF is 12 and the LCM is 360, whose product is 4,320 while the numbers multiply to 51,840. With more than two inputs you have to build each quantity from the prime factorizations directly, which is what this calculator does.

Coprime numbers

Two numbers whose GCF is 1 are called coprime or relatively prime. They share no prime factors at all, which means their LCM is simply their product — 8 and 15 are coprime, so their LCM is 120.

Coprimality does not require either number to be prime: 8 and 15 are both composite. It comes up constantly in fraction arithmetic (a fraction is in lowest terms exactly when the numerator and denominator are coprime) and in cryptography, where coprime exponents underpin RSA key generation.

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on le plus grand commun diviseur ?

Décomposez chaque nombre en facteurs premiers et prenez la plus petite puissance de chaque premier présent dans tous. Pour 12 (2²·3) et 18 (2·3²), les premiers communs donnent 2·3 = 6. L'algorithme d'Euclide est une alternative rapide.

Comment calcule-t-on le plus petit commun multiple ?

Prenez la plus grande puissance de chaque premier présent dans l'un des nombres. Pour 12 (2²·3) et 18 (2·3²), cela donne 2²·3² = 36. Pour deux nombres, vous pouvez aussi utiliser PPCM = a × b ÷ PGCD.

À quoi sert le PPCM ?

Surtout à additionner et soustraire des fractions : le plus petit dénominateur commun est le PPCM des dénominateurs. Il apparaît aussi dans les problèmes de cycles qui coïncident, comme deux événements se répétant tous les quelques jours.

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