حاسبة المعادلة التربيعية
حلّ أي معادلة من الدرجة الثانية ax² + bx + c = 0 بجذور حقيقية أو مركّبة، واحصل على المميّز والرأس ومحور التماثل والصورة المُحلّلة إلى عوامل.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
- 1Write your equation in the standard form ax² + bx + c = 0, moving every term to one side.
- 2Enter a, b, and c — including their signs. A missing x term means b = 0.
- 3Read the roots, and check the discriminant to understand why you got real or complex answers.
طريقة الحساب
القانون العام للمعادلة التربيعية
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a المميّز: Δ = b² − 4ac الرأس: x = −b ÷ 2a، y = f(−b ÷ 2a) مجموع الجذور = −b ÷ a، جداء الجذور = c ÷ a
يحلّ القانون العام أي معادلة على الصورة ax² + bx + c = 0. والمميّز، وهو ما تحت الجذر (b² − 4ac)، يحدّد نوع الحل: فالموجب يعطي جذرين حقيقيين مختلفين، والصفر جذراً مكرّراً، والسالب جذرين مركّبين مترافقين. أما الرأس ومحور التماثل فيصفان القطع المكافئ المرتبط بالمعادلة.
مثال محلول
للمعادلة x² − 3x + 2 = 0: المميّز = (−3)² − 4·1·2 = 1 وهو موجب، فيوجد جذران حقيقيان. ويعطي القانون x = (3 ± 1) ÷ 2 أي x = 2 وx = 1، والصورة المُحلّلة هي (x − 1)(x − 2).
حاسبة المعادلة التربيعية: الدليل الكامل
What the discriminant tells you before you solve
The discriminant b² − 4ac is worth computing first, because it answers the shape of the problem in one number. Positive means the parabola crosses the x-axis twice and there are two distinct real solutions. Zero means it touches the axis at exactly one point — a repeated root, and the vertex sits on the axis. Negative means the parabola never reaches the axis, so there are no real solutions and the roots are a complex conjugate pair.
A discriminant that is a perfect square carries extra information: it means the quadratic factors cleanly over the rationals, so factoring by inspection will work and you did not need the formula at all.
Three ways to solve, and when each is fastest
Factoring is fastest when it works — if you can spot two numbers that multiply to ac and add to b, you are done in seconds. It only works when the roots are rational.
Completing the square is slower but it is where the quadratic formula comes from, and it is the method that converts a quadratic into vertex form a(x − h)² + k, which is what you want for graphing or optimisation.
The quadratic formula always works. It handles irrational roots, complex roots, and ugly decimal coefficients identically, which is why it is the method to reach for when the numbers are not friendly.
Reading the vertex and the parabola
The vertex is the turning point. Its x-coordinate is always −b ÷ 2a, sitting exactly halfway between the two roots because a parabola is symmetric about that line. Substituting that x back into the equation gives the y-coordinate.
The sign of a decides which way the curve opens: positive opens upward so the vertex is the minimum, negative opens downward so the vertex is the maximum. This is the whole basis of quadratic optimisation problems — maximum profit, maximum projectile height, minimum material cost all reduce to finding a vertex.
Vieta's formulas as a check
For any quadratic, the two roots must sum to −b ÷ a and multiply to c ÷ a. These are Vieta's formulas, and they give a free five-second check on any answer.
For x² − 5x + 6 = 0, the roots 3 and 2 sum to 5 (which is −(−5) ÷ 1) and multiply to 6 (which is 6 ÷ 1). If your roots fail either check, you have made an arithmetic slip. The check also works for complex roots, where the imaginary parts cancel in the sum and combine in the product.
الأسئلة الشائعة
ماذا يدل عليه المميّز؟
إشارة b² − 4ac تدل على نوع الجذور: الموجب جذران حقيقيان مختلفان؛ والصفر جذر حقيقي مكرّر؛ والسالب جذران مركّبان مترافقان دون تقاطع مع محور السينات. كما تقيس قيمته مقدار تباعد الجذرين.
ماذا يحدث إذا كان a يساوي صفراً؟
عندئذٍ لا تكون المعادلة تربيعية بل خطية (bx + c = 0) ولها حل واحد فقط x = −c ÷ b. ويشترط القانون العام أن يكون a غير صفري، وإلا وقعت قسمة على صفر.
هل يمكن ألا يكون للمعادلة التربيعية حل حقيقي؟
نعم. عندما يكون المميّز سالباً لا يقطع القطع المكافئ محور السينات ولا توجد جذور حقيقية؛ فالحلّان عددان مركّبان مترافقان. وتعرضهما الحاسبة على الصورة a ± bi.